Question

【题目】点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2 ，若四面体ABCD体积的最大值为 ，则该球的表面积为（ ）
A.
B.8π
C.9π
D.12π

Answer 1

【答案】C
【解析】解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为2．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为 ×S△ABC×DQ= ，
S△ABC= ACBQ= =2．
即 × ×DQ= ，∴DQ=2，如图．
设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，
OA2=AQ2+OQ2 ， 即R2=（ ）2+（2﹣R）2 ， ∴R=
则这个球的表面积为：S=4π（ ）2=9π；
故选：C．