Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow{b}$=（3cosβ，3sinβ），其夹角为60°，则直线xcosα-ysinα+$\frac{1}{2}$=0与圆（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=$\frac{1}{2}$的位置关系是相离．

Answer 1

分析 利用向量夹角公式可得：cos60°=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=cos（α-β）=$\frac{1}{2}$．求出圆心到直线的距离与半径半径大小即可判断出位置关系．

解答 解：$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{（2cosα）^{2}+（2sinα）^{2}}$=2，$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{（3cosβ）^{2}+（3sinβ）^{2}}$=3，
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=6（cosαcosβ+sinαsinβ）=6cos（α-β）．
∴cos60°=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=cos（α-β）=$\frac{1}{2}$．
由圆（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=$\frac{1}{2}$可得圆心M（cosβ，sinβ），半径r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
圆心M到直线xcosα-ysinα+$\frac{1}{2}$=0距离d=$\frac{|cosαcosβ+sinαsinβ+\frac{1}{2}|}{\sqrt{co{s}^{2}α+（-sinα）^{2}}}$=1$＞\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直线与圆相离．
故答案为：相离．

点评 本题考查了向量夹角公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．