Question

4．在三棱锥P-ABC中，BC=3，CA=4，AB=5，若三个侧面与底面ABC所成二面角均为60°，则三棱锥的体积是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出底面是以3、4为直角边，斜边为5的直角三角形，得到底面内切圆的半径．再由二面角，可得三棱锥的高，即可求解棱锥的体积．

解答 解：∵底面三角形三边为3、4、5，
∴底面是以3、4为直角边，斜边为5的直角三角形，内切圆的半径为：$\frac{3+4-5}{2}$=1．
∵三棱锥各侧面与底面所成的二面角均为60°，
∴根据平面与平面所成角的性质，可得tan60°=$\frac{h}{r}$，由此可得此三棱锥的高为：$\sqrt{3}$．
三棱锥的体积是：$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×4×\sqrt{3}$=$2\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题给出三棱锥的底面与每个侧面所成角均为60°，在已知底面形状的情况下求它的体积．着重考查了直角三角形的判定和平面与平面所成角的性质等知识，属于中档题．