【题目】若定义在上的函数,其图象是连续不断的,且存在常数使得对任意的实数都成立,则称是一个“特征函数”则下列结论中正确的个数为( ).
①是常数函数中唯一的“特征函数”;
②不是“特征函数”;
③“特征函数”至少有一个零点;
④是一个“特征函数”;.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析:利用新定义“特征函数”,逐个判断即可得到答案.
详解:对于①设是一个“特征函数”,则,当时,可以取实数集,因此不是唯一一个常数“特征函数”,故①错误;
对于②,∵,∴,即,
∴当时,;时,有唯一解,
∴不存在常数使得对任意实数都成立,
∴不是“特征函数”,故②正确;
对于③,令得,所以,
若,显然有实数根;若,.
又∵的函数图象是连续不断的,∴在上必有实数根,
因此任意的“特征函数”必有根,即任意“特征函数”至少有一个零点,故③正确;
对于④,假设是一个“特征函数”,则对任意实数成立,则有,而此式有解,所以是“特征函数”,故④正确.
综上所述,结论正确的是②③④,共个.
故选.
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【题目】某工厂在政府的帮扶下,准备转型生产一种特殊机器,生产需要投入固定成本万元,生产与销售均已百台计数,且每生产台,还需增加可变成本万元,若市场对该产品的年需求量为台,每生产百台的实际销售收入近似满足函数.
()试写出第一年的销售利润(万元)关于年产量(单位:百台,,)的函数关系式:(说明:销售利润=实际销售收入-成本)
()因技术等原因,第一年的年生产量不能超过台,若第一年的年支出费用(万元)与年产量(百台)的关系满足,问年产量为多少百台时,工厂所得纯利润最大?
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【题目】某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了至月份每月号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
日期 | 1月10日 | 2月10日 | 3月10日 | 4月10日 | 5月10日 | 6月10日 |
昼夜温差 () | ||||||
就诊人数(个) |
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取组,用剩下的组数据求线性回归方程,再用被选取的组数据进行检验.
(1)求选取的组数据恰好是相邻两月的概率;
(2)若选取的是1月与月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出关于的线性回归方程;
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
参考数据,
(参考公式: ,)
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【题目】已知:集合,其中
.,称为的第个坐标分量.若,且满足如下两条性质:
①中元素个数不少于个.
②,,,存在,使得,,的第个坐标分量都是.则称为的一个好子集.
()若为的一个好子集,且,,写出,.
()若为的一个好子集,求证:中元素个数不超过.
()若为的一个好子集且中恰好有个元素,求证:一定存在唯一一个,使得中所有元素的第个坐标分量都是.
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【题目】某地方政府要将一块如图所示的直角梯形ABCD空地改建为健身娱乐广场.已知AD//BC, 百米, 百米,广场入口P在AB上,且,根据规划,过点P铺设两条相互垂直的笔直小路PM,PN(小路的宽度不计),点M,N分别在边AD,BC上(包含端点),区域拟建为跳舞健身广场, 区域拟建为儿童乐园,其它区域铺设绿化草坪,设.
(1)求绿化草坪面积的最大值;
(2)现拟将两条小路PNM,PN进行不同风格的美化,PM小路的美化费用为每百米1万元,PN小路的美化费用为每百米2万元,试确定M,N的位置,使得小路PM,PN的美化总费用最低,并求出最小费用.
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【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D,E分别为AB,AC中点.
(1)求证:DE∥平面PBC;
(2)求证:AB⊥PE;
(3)求三棱锥P﹣BEC的体积.
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