Question

（1）求证：C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2ⁿ-¹ （n∈N*）
（2）设n是满足C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）•C_nⁿ＜1000的最大正整数，求97ⁿ除以99的余数．
（3）当n∈N*且n＞1时，求证2＜（1+）ⁿ＜3．

Answer 1

证明：（1）记S=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
倒序则S=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+…+C_n¹ （2分）
∴2S=nc_n⁰+nC_n¹+…+nC_nⁿ=n•2ⁿ
∴S=n•2^n-1 …（2分）
解：（2）C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）C_nⁿ
=（C_n⁰+C_n¹+…C_nⁿ）+（C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ） （1分）
=2ⁿ+n•2^n-1＜1000
由于7•2⁶+2⁷=576＜1000＜1280=8•2⁷+2⁸，
∴n=7 …（2分）
97⁷=（99-2）⁷=C₇⁰•99⁷-C₇¹•99⁶•2+…+C₇⁶•99•2⁶-C₇⁷•2⁷
∴97ⁿ除以99的余数即为-C₇⁷•2⁷除以99的余数70 （2分）
证明：（3）∵（1+）ⁿ=c_n⁰+C_n¹•+C_n²•+…+C_nⁿ•（）ⁿ＞c_n⁰+C_n¹•=2 （1分）
∵c_n⁰+C_n¹•+C_n²•+…+C_nⁿ•（）ⁿ
=2+•+…+•
＜2++…+（2分）
＜2++…+
=2+（1-）+…+（-）
=3-＜3 （2分）
分析：（1）直接采用倒序相加法再结合组合数的性质即可证明结论；
（2）先对C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）•C_nⁿ进行整理，结合第一问的结论求出满足C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）•C_nⁿ＜1000的最大正整数n；再根据97⁷=（99-2）⁷=C₇⁰•99⁷-C₇¹•99⁶•2+…+C₇⁶•99•2⁶-C₇⁷•2⁷，把问题转化为-C₇⁷•2⁷除以99的余数即可；
（3）直接根据（1+）ⁿ=c_n⁰+C_n¹•+C_n²•+…+C_nⁿ•（）ⁿ只用前两项即可证明不等式的前半部分；再通过组合数的性质对等式右边进行放缩即可证明右边．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，属于中等难度题型，在处理有关二项式定理有关系数问题时要熟记结论以及性质．