Question

如图ABCD是一个直角梯形，其中AB∥DC，AB⊥BC，CD=2BC=2AB=4，过点A作CD的垂线AE，垂足为点E，现将△ADE折起，使二面角D-AE-C的大小是120°．
（1）求证：平面BCD⊥平面CED；
（2）求二面角A-CD-E的大小．

Answer 1

分析：（1）先证AE⊥平面CED，再利用BC∥AE?BC⊥平面CED?平面BCD⊥平面CED；
（2）先由已知知道∠CED=120°．再过点E作EF垂直CD且交于点F，则∠AFE是二面角A-CD-E的平面角，然后在△AFE中求出∠AFE即可．

解答：解：（1）证明：因为AE⊥CE，AE⊥DE，CE∩DE=E，所以AE⊥平面CED．
又因为BC∥AE，
∴BC⊥平面CED，BC?面BCD，
∴平面BCD⊥平面CED；（6分）
（2）∵AE⊥CE，AE⊥DE，
∴∠CED为二面角D-AE-C的平面角，
∴∠CED=120°．
过点E作EF垂直CD且交于点F，
连接AF，∵AE⊥平面CED，∴AF在面CED上的射影为EF，得到AF⊥CD，
所以∠AFE是二面角A-CD-E的平面角，（9分）
EF=2sin30°=1，tan∠AFE=

AF

EF

=2，（11分）
二面角A-CD-E大小是arctan2．（12分）

点评：本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直