Question

已知a_n=log_（n+2）（n+3），我们把使乘积a₁•a₂•a₃•…•a_n为整数的数n称为“优数”，则在区间（0，2012）内所有优数的个数为（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

Answer 1

分析：利用对数的运算性质化简a₁•a₂•a₃•…•a_n，得到a₁•a₂•a₃•…•a_n=log₃（n+3），要使a₁•a₂•a₃•…•a_n为整数，则n+3是3的k次方（k∈Z）．由此求出在区间（0，2012）内n的取值即可．

解答：解：由a_n=log_（n+2）（n+3），
∴a₁•a₂•a₃•…•a_n=log₃4•log₄5…log_n+2（n+3）=

lg4

lg3

•

lg5

lg4

•

lg6

lg5

…

lg(n+3)

lg(n+2)

=

lg(n+3)

lg3

=log₃（n+3）．
∵a₁•a₂•a₃•…•a_n为整数，
∴n+3是3的k次方（k∈Z）．
∴n+3可取 9，27，81，243，729．
则n在区间（0，2012）内可取 6，24，78，240，726．
∴在区间（0，2012）内所有“优数”的个数为5．
故选：C．

点评：本题是新定义题，考查了对数的运算性质，考查了化归思想方法，是基础题．