Question

1．已知双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，A、B分别为其左、右顶点，P是双曲线右支上位于x轴上方的动点，则k_PA+k_PB的取值范围是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． [$\frac{5}{2}$，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 根据双曲线的方程求出A、B点的坐标，设点P（x₀，y₀），得到k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$+$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$=m，根据p的位置即可判断m的范围，即斜率的范围．

解答 解：双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，A、B分别为其左、右顶点（-2，0），（2，0），设点P（x₀，y₀），
根据点P是双曲线左支上位于x轴上方的点，则$\frac{1}{4}$x₀²-y₀²=1，则x₀²-4=4y₀²，
∴k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$+$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{y}_{0}（2{x}_{0}）}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$=m，
则x₀=2my₀，
∴（m-1）y₀²=1，
∴y₀²=$\frac{1}{m-1}$＞0，
∴m＞1，
故选：D

点评 本题借助于双曲线中的一条动直线的斜率取值范围问题，着重考查了双曲线的简单性质和函数的值域与最值等知识点，属于中档题．