Question

已知函数f(x)＝ax＋ln x，g(x)＝e^x.
(1)当a≤0时，求f(x)的单调区间；
(2)若不等式g(x)< 有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）当a＝0时，f(x)在(0，＋∞)单调递增；当a<0时，f(x)在单调递增，在单调递减．（2）(－∞，0)

(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝a＋ (x>0)
①当a＝0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)单调递增；
②当a<0时，由f′(x)＝0，解得x＝－，
则当x∈时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，综上所述：当a＝0时，f(x)在(0，＋∞)单调递增；当a<0时，f(x)在单调递增，在单调递减．
(2)由题意：e^x<有解，即e^x<x－m有解，因此只需m<x－e^x，x∈(0，＋∞)有解即可，设h(x)＝x－e^x，h′(x)＝1－e^x－＝1－e^x，因为：＋≥2＝>1，且x∈(0，＋∞)时e^x>1，所以：1－e^x<0，即h′(x)<0.
故h(x)在[0，＋∞)单调递减，
∴h(x)<h(0)＝0，∴m<0.
故实数m的取值范围是(－∞，0)．