【题目】如图,在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中,平面平面ABCD,为等腰直角三角形,,,点E,F分别为BC,PD的中点,直线PC与平面AEF交于点Q.
(1)若平面平面,求证:.
(2)求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)根据线面平行的判定定理证得平面,然后根据线面平行的性质定理证得.(2)先根据四点共面,结合向量的线性运算,求得,也即求得位置.建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量和平面的法向量,求得线面角的正弦值.
(1)证明:因为,平面PC,平面PCD,
所以平面PCD.又因为平面PAB,平面平面,所以.
(2)解:连接PE.
因为,
所以,
则
设,则.
因为A,E,Q,F四点共面,
所以,解得,则.
取AD的中点O,连接OC,OP,由题意可得OC,OD,OP两两垂直
如图,建立空间直角坐标系,
设,则,,,.
所以,.
设平面PCD的一个法向量为,
则,令,得,即,
所以,
所以.
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【题目】在一次运动会上,某单位派出了由6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛.
(1)如果随机抽派5名队员上场比赛,将主力队员参加比赛的人数记为,求随机变量的数学期望;
(2)若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤,不宜同时上场;替补队员中有2名队员身材相对矮小,也不宜同时上场,那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员,教练员有多少种组队方案?
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【题目】在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.
(Ⅰ)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线经过曲线的焦点且与曲线相交于两点,设线段的中点为,求的值.
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【题目】有下列命题:
①函数与的图象关于轴对称;
②若函数,则,都有;
③若函数,在上单调递增,则;
④若函数,则函数的最小值为.
其中真命题的序号是______.
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【题目】某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2015年和2018年的高考情况,得到如图柱状图:
则下列结论正确的是
A. 与2015年相比,2018年一本达线人数减少
B. 与2015年相比,2018年二本达线人数增加了倍
C. 2015年与2018年艺体达线人数相同
D. 与2015年相比,2018年不上线的人数有所增加
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