Question

正方体ABCED-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AB、AD的中点，则AD₁与EF所成角是（　　）

• A、45°
• B、30°
• C、60°
• D、90°

Answer 1

分析：在正方体中建立空间直角坐标系，给两条异面直线赋予向量意义，求出两个向量的坐标，求出两个向量的数量积及两个向量的模，求出两个向量的夹角，进一步求出两异面直线的夹角．

解答：解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1则有
A（1，0，0），D₁（0，0，1），E(1，

1

2

，0)，  F(

1

2

，0，0)
∴

AD1

=(-1，0，1)，

EF

=(-

1

2

，-

1

2

，0)
∴

AD1

•

EF

=

1

2

∵|

AD1

|=

2

，|

EF

|=

2

2

∴cos＜

AD1

，

EF

＞=

AD1 • EF

| AD1 || EF |

=

1

2

∴＜

AD1

，

EF

＞=60°
故选C．

点评：求两异面直线的夹角常利用的工具是向量，先将异面直线赋予向量意义，再利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角，根据异面直线与相应的向量的夹角的关系求出两异面直线的夹角．