Question

已知函数f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1，x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的最小值与最大值．
（3）将函数y=f（x）的图象沿x轴正方向平移

π

8

个单位，再沿y轴负方向平移2个单位得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）将函数的表达式展开，得f（x）=2cos²x-2cosxsinx+1，再用三角函数的降幂公式和辅助角公式，得到f（x）=2+

2

sin（2x+

3π

4

），最后可用周期的公式求出函数的最小正周期；
（2）区间[

π

8

，

3π

4

]上，π≤2x+

3π

4

≤

9π

4

，从而得出

2

sin（2x+

3π

4

）∈[ -

2

，1]，最后得出函数f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的最大值为3，最小值为2-

2

；
（3）将函数y=f（x）的图象沿x轴正方向平移

π

8

个单位，得到y=f（x-

π

8

）的图象，再沿y轴负方向平移2个单位得到y=f（x-

π

8

）-2的图象，说明g（x）=f（x-

π

8

）-2，代入（1）的表达式即可．

解答：解：（1）f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1=2cos²x-2cosxsinx+1
=cos2x-sin2x+2=2+

2

sin(2x+

3π

4

)（2分）
因此，函数f（x）的最小正周期为π（4分）
（2）因为f(x)=2+

2

sin(2x+

3π

4

)
在区间[

π

8

，

3π

8

]上是减函数，
在区间[

3π

8

，

3π

4

]上是增函数，
又f(

π

8

)=2，f(

3π

8

)=2-

2

，f(

3π

4

)=3（8分）
所以，函数f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的最大值为3，最小值为2-

2

（10分）
（3）将函数y=f（x）的图象沿x轴正方向平移

π

8

个单位得y=2+

2

sin[2(x-

π

8

)+

3π

4

]=2+

2

sin(2x+

π

2

)=2+

2

cos2x（12分）
再沿y轴负方向平移2个单位得y=2+

2

cos2x-2=

2

cos2x，
所以g(x)=

2

cos2x（14分）

点评：本题着重考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．对三角函数公式的记忆要求较高，同时还考查了函数图象的平移的规律，是一道不错的典型题．