【题目】在数列{an}中,已知,且2an+1=an+1(n∈N*).
(1)求证:数列{an-1}是等比数列;
(2)若bn=nan,求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】(1)见解析;(2) 2-
【解析】
(1)由已知可得,2(an+1-1)=an-1,从而可证明数列{an-1}是等比数列;
(2)由(1)可求an,进而可求bn,然后利用分组求和,结合等差数列的求和公式及错位相减求和方法即可求解.
解:(1)∵2an+1=an+1(n∈N*).
∴2(an+1-1)=an-1,
∵,
∴a1-1=且an-1≠0,
∴=,
∴数列{an-1}是以为首项,为公比的等比数列
(2)由(1)可得:an-1=,
∴an=
∴bn=nan=n,
∴Tn=()+(1+2+…+n),
令An=,
∴=…+(n-1)+n,
两式相减可得,=,
==1-
∴An=2-2×-n=2-
∴Tn=2-
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【题目】已知函数,(,,)的部分图像如图所示.
(1)求函数的解析式及图像的对称轴方程;
(2)把函数图像上点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位,得到函数的图象,求关于x的方程在时所有的实数根之和.
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【题目】已知A(4,0)、B(1,0),动点M满足|AM|=2|BM|.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)直线l:x+y=4,点N∈l,过N作轨迹C的切线,切点为T,求NT取最小时的切线方程.
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【题目】如今我们的互联网生活日益丰富,除了可以很方便地网购,网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.某市一调查机构针对该市市场占有率最高的甲、乙两家网络外卖企业(以下简称外卖甲,外卖乙)的经营情况进行了调查,调查结果如表:
1日 | 2日 | 3日 | 4日 | 5日 | |
外卖甲日接单(百单) | 5 | 2 | 9 | 8 | 11 |
外卖乙日接单(百单) | 2.2 | 2.3 | 10 | 5 | 15 |
(1)据统计表明,与之间具有线性相关关系.
(ⅰ)请用相关系数加以说明:(若,则可认为与有较强的线性相关关系(值精确到0.001))
(ⅱ)经计算求得与之间的回归方程为.假定每单外卖业务企业平均能获纯利润3元,试预测当外卖乙日接单量不低于2500单时,外卖甲所获取的日纯利润的大致范围:(值精确到0.01)
(2)试根据表格中这五天的日接单量情况,从平均值和方差角度说明这两家外卖企业的经营状况.
相关公式:相关系数,
参考数据:
.
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【题目】某地区现有一个直角梯形水产养殖区ABCD,∠ABC=90°,AB∥CD,AB=800m,BC=1600m,CD=4000m,在点P处有一灯塔(如图),且点P到BC,CD的距离都是1200m,现拟将养殖区ACD分成两块,经过灯塔P增加一道分隔网EF,在△AEF内试验养殖一种新的水产品,当△AEF的面积最小时,对原有水产品养殖的影响最小.设AE=d.
(1)若P是EF的中点,求d的值;
(2)求对原有水产品养殖的影响最小时的d的值,并求△AEF面积的最小值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,且PF2垂直于x轴,连结PF1并延长交椭圆于另一点Q,设=λ.
(1)若点P的坐标为(2,3),求椭圆C的方程及λ的值;
(2)若4≤λ≤5,求椭圆C的离心率的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系 中,椭圆 的中心为坐标原点,左焦点为F1(﹣1,0),离心率.
(1)求椭圆G 的标准方程;
(2)已知直线 与椭圆 交于 两点,直线 与椭圆 交于 两点,且 ,如图所示.
①证明: ;
②求四边形 的面积 的最大值.
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【题目】已知动点满足: .
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设过点的直线与曲线交于两点,点关于轴的对称点为(点与点不重合),证明:直线恒过定点,并求该定点的坐标.
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【题目】已知函数,其中.是自然对数的底数.
(1)若曲线在处的切线方程为.求实数的值;
(2)① 若时,函数既有极大值,又有极小值,求实数的取值范围;
② 若,.若对一切正实数恒成立,求实数的最大值(用表示).
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