Question

【题目】已知函数f（x）=loga（x+1），函数g（x）=loga（4﹣2x）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数y=f（x）﹣g（x）的定义域；
（2）求使函数y=f（x）﹣g（x）的值为正数的x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知，函数f（x）=loga（x+1），函数g（x）=loga（4﹣2x）（a＞0，且a≠1）．

那么：函数y=f（x）﹣g（x）=loga（x+1）﹣loga（4﹣2x）

定义域满足： ，

解得：﹣1＜x＜2．

∴函数y=f（x）﹣g（x）的定义域是（﹣1，2）

（2）解：函数y=f（x）﹣g（x）的值为正数，即f（x）＞g（x）

可得：loga（x+1）＞loga（4﹣2x）

当a＞1时，可得：x+1＞4﹣2x，

解得：x＞1．

又∵定义域：﹣1＜x＜2．

∴解集为（1，2）

当0＜a＜1时，可得：x+1＜4﹣2x，

解得：x＜1．

又∵定义域：﹣1＜x＜2．

∴解集为（﹣1，1）

综上所述：当a＞1时，x的取值范围是（1，2）；

当0＜a＜1时，x的取值范围是（﹣1，1）

【解析】（1）根据对数的真数要大于0，写出满足函数有意义的不等式组求解即可．（2）将等式转化为不等式问题求解．
【考点精析】通过灵活运用函数的定义域及其求法和函数的值域，掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的即可以解答此题．