Question

（2013•房山区一模）已知椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1和点P（4，0），垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，连结PB交椭圆C于另一点E．
（Ⅰ）求椭圆C的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）证明直线AE与x轴相交于定点．

Answer 1

分析：（I）由椭圆的标准方程得到：a²=4，b²=3，c²=a²-b²，即可得到焦点坐标和离心率；
（II）由题意知：直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x-4），设B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则A（x₁，-y₁）．把直线PB的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，写出直线AE的方程，并令y_A=0，即可得到点A的横坐标的表达式，把根与系数的关系式代入即可证明．

解答：（Ⅰ）解：由题意知：a²=4，b²=3，∴c²=a²-b²=1，得到c=1．
∴焦点坐标为（±1，0）；
  离心率e=

c

a

=

1

2

．
（Ⅱ）证明：由题意知：直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x-4）
设B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则A（x₁，-y₁）．
由

y=k(x-4) 3x2+4y2=12

得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0
则x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

…（1）
直线AE的方程为y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)，
令y=0，得x=x2-

y2(x2-x1)

y1+y2

…（2）
又y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）代入（2）式，得x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

…（3）
把（1）代入（3）式，整理得x=1
所以直线AE与x轴相交于定点（1，0）．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为直线PB的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系是解题的关键．