【题目】在直角坐标系中,点
到两点
,
的距离之和等于4,设点
的轨迹为
,直线
与
交于
两点,
(1)写出的方程;
(2)若,求
的值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(1)由题中条件:“点到两点
,
的距离之和等于
,”结合椭圆的定义知其轨迹式样,从而求得其方程;(2)先将直线方程与椭圆方程联立方程组,消去
得到一个一元二次方程,再利用根与系数的关系结合向量垂直的条件列关于
方程式即可求得参数
值.
试题解析:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,-)、(0,
)为焦点,长半轴为2的椭圆,它的短半轴
,
故曲线C的方程为.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程
消去y并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0.
其中Δ=4k2+12(k2+4)>0恒成立.
故,
.
若,即x1x2+y1y2=0.
而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1,
于是x1x2+y1y2=-,
化简得-4k2+1=0,所以k=±.
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【题目】已知函数,
.
(I)求证:在区间
上单调递增;
(II)若,函数
在区间
上的最大值为
,求
的试题分析式.并判断
是否有最大值和最小值,请说明理由(参考数据:
)
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【题目】某城市有一直角梯形绿地,其中
,
km,
km.现过边界
上的点
处铺设一条直的灌溉水管
,将绿地分成面积相等的两部分.
(1)如图①,若为
的中点,
在边界
上,求灌溉水管
的长度;
(2)如图②,若在边界
上,求灌溉水管
的最短长度.
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【题目】某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况,抽取甲、乙两班,调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间(单位:小时),统计结果绘成频率分别直方图(如图).已知甲、乙两班学生人数相同,甲班学生每天平均学习时间在区间的有8人.
(I)求直方图中的值及甲班学生每天平均学习时间在区间
的人数;
(II)从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试,设4人中甲班学生的人数为,求
的分布列和数学期望.
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【题目】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中用表示.
(1)若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1,求及乙组同学投篮命中次数的方差;
(2)在(1)的条件下,分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名,求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率.
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【题目】已知圆,直线
.
(1)若直线与圆
交于不同的两点
,且
,求
的值;
(2)若,
是直线
上的动点,过
作圆
的两条切线
,
,切点分别为
,
,求证:直线
过定点,并求出该定点的坐标.
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