Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

a

x

（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）求函数F（x）的单调区间；
（II）是否存在实数m，使得函数y=g（

2a

x2+1

）+m-1的图象与函数y=f（1+x²）的图象恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分别把f（x）和g（x）的解析式代入F（x）中，求出F′（x）=0时x的值为a及函数的定义域为x大于0，令导函数大于0解出x的范围即为函数的增区间，令导函数小于0求出x的值即为函数的间区间；
（II）分别把

2a

x2+1

代入g（x），把1+x²代入到f（x）中，要使两个函数图象有四个不同的交点，即让y相等得到的方程m=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

有四个解，可设G（x）=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

，求出G′（x）=0时x的值，利用x的值分区间讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间，利用函数的增减性求出函数的最大值G（1）和最小值G（0），然后求出G（2）和G（-2）相等且都小于G（0），所以m属于（G（0），G（1））时方程恰有四个解，求出m的范围即可．

解答：解：（I）F（x）=f（x）+g（x）=lnx+

a

x

（a＞0），
F′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（x＞0）．
∵a＞0，由F′（x）＞0⇒x∈（a，+∞），∴F（x）在（0，+∞）上单调递增．
由F′（x）＜0⇒x∈（0，a），∴F（x）在（0，a）上单调递减．
∴F（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+∞）

（II）若y=g（

2a

x2+1

）+m-1=

1

2

x²+m-

1

2

的图象与y=f（1+x²）=ln（x²+1）的图象恰有四个不同得交点，
即有四个不同的根，亦即m=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

有四个不同的根．
令G（x）=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

，则G′（x）=

2x

x2+1

-x=

2x-x3-x

x2+1

=

-x(x+1)(x-1)

x2+1

当x变化时，G′（x）、G（x）的变化情况如下表：

由表格知：G（x）_最小值=G（0）=

1

2

，G（x）_{（最大值）}=G（1）=G（-1）=ln2＞0．
画出草图和验证G（2）=G（-2）=ln5-2+

1

2

＜

1

2

可知，当m∈（

1

2

，ln2）时，y=G（x）与y=m恰有四个不同的交点．
∴当m∈（

1

2

，ln2）时，y=g（

2a

x2+1

）+m-1=

1

2

x²+m-

1

2

的图象与y=f（1+x²）=ln（x²+1）的图象恰有四个不同的交点．

点评：本题要求学生会利用x的值讨论导函数的正负得到函数的单调区间以及会根据函数的增减性求出函数的最值，是一道中档题．