Question

定义：若一个数列中的每一项都是另一个数列中的项，则称这个数列是另一个数列的子数列。已知是等差数列，是公比为的等比数列，，，记为数列的前项和．

（Ⅰ）若（是大于的正整数），求证：；

（Ⅱ）若（是某个正整数），求证：是整数，且数列是数列的子数列.

Answer 1

（1）设等差数列的公差为，则由题设得，，且．

由得，所以，

．

故等式成立．

（2）（ⅰ）证明为整数：

由得，即，

移项得．

因，，得，故为整数．

（ⅱ）证明数列中的每一项都是数列中的项：

设是数列中的任一项，只要讨论的情形．

令，即，

得．

因，当时，，为或，则为或；

而，否则，矛盾．

当时，为正整数，所以为正整数，从而．

故数列中的每一项都是数列中的项．即数列是数列的子数列.