Question

11．已知一个圆锥的母线长为L．
（1）若L=5，底面半径为4，求圆锥的全面积；
（2）若L为定值，求当圆锥的体积最大时，圆锥的高为多少？（用L表示）

Answer 1

分析 （1）由已知中圆锥的母线与底面半径，代入圆锥的表面积公式，可得答案；
（2）设圆锥的高为h，表示出圆锥的体积公式，利用导数法，可得当圆锥的体积最大时，圆锥的高．

解答 解；（1）若圆锥的母线L=5，底面半径r=4，
则圆锥的全面积S=πr（r+L）=36π；
（2）若L为定值，求当圆锥的体积最大时，圆锥的高为h，
则V=$\frac{1}{3}$πh=$\frac{1}{3}$π（L²-h²）h，
则V′=$\frac{1}{3}$π（L²-3h²），
当h＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$L时，V′＞0，当h＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$L时，V′＜0，
故当h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$L时，V取最大值，
即当圆锥的体积最大时，圆锥的高为$\frac{\sqrt{3}}{3}$L．

点评 本题考查的知识点是旋转体，导数法求函数的最值，难度中档．