【题目】已知函数.
(1)若,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若函数在其定义域内为增函数,求
的取值范围;
(3)在(2)的条件下,设函数,若在
上至少存在一点
,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)y=x-1(2)(3)
【解析】
试题(Ⅰ)当时,求出切点坐标,然后求出
,从而求出
的值即为切线的斜率,利用点斜式可求出切线方程;
(Ⅱ)先求导函数,要使在定义域(0,+∞)内是增函数,只需
在(0,+∞)内恒成立,然后将
分离,利用基本不等式可求出
的取值范围;
(III)根据g(x)在[1,e]上的单调性求出其值域,然后根据(II)可求出的最大值,要使在[1,e]上至少存在一点x0,使得
成立,只需
,x∈[1,e],然后建立不等式,解之即可求出
的取值范围.
试题解析:
(1)当a=1时,函数, ∴f(1)=1-1-ln1=0.
,
曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=1+1-1=1.
从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=x-1, 即y=x-1.
(2).
要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,只需f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立.
即:ax2-x+a≥0得:恒成立.
由于, ∴
, ∴
∴f(x)在(0,+∞)内为增函数,实数a的取值范围是.
(3)∵在[1,e]上是减函数
∴x=e时,g(x)min=1,x=1时,g(x)max=e,即g(x)∈[1,e]
f'(x)=令h(x)=ax-x+a
当时,由(II)知f(x)在[1,e]上是增函数,f(1)=0<1
又在[1,e]上是减函数,故只需f(x)max≥g(x)min,x∈[1,e]
而f(x)max=f(e)=,g(x)min=1,即
≥1
解得a≥ ∴实数a的取值范围是[
,+∞)
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,
,且函数
是偶函数.
(1)求的解析式;.
(2)若不等式在
上恒成立,求n的取值范围;
(3)若函数恰好有三个零点,求k的值及该函数的零点.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】由国家公安部提出,国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准(GB/T19522-2010)》于2011年7月1日正式实施.车辆驾驶人员酒饮后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表.经过反复试验,一般情况下,某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图,且图表示的函数模型,则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车(时间以整小时计算)?(参考数据:
,
)
驾驶行为类型 | 阀值 |
饮酒后驾车 |
|
醉酒后驾车 |
车辆驾车人员血液酒精含量阀值
喝1瓶啤酒的情况
A. B.
C.
D.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义:对棱相等的四面体为等腰四面体.
(1)若等腰四面体的每条棱长都是,求该等腰四面体的体积;
(2)求证:等腰四面体每个面的三角形均为锐角三角形:
(3)设等腰四面体的三个侧面与底面所成的角分别为
,请判断
是否为定值?如果是定值,请求出该定值;如果不是定值,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】树立和践行“绿水青山就是金山银山,坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心,已形成了全民自觉参与,造福百姓的良性循环.据此,某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查,大量的统计数据表明,参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出人,并将这
人按年龄分组:第1组
,第2组
,第3组
,第4组
,第5组
,得到的频率分布直方图如图所示:
(1)求的值;
(2)求出样本的平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表);
(3)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取人,再从这
人中随机抽取
人进行问卷调查,求第2组中抽到
人的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某企业共有员工10000人,下图是通过随机抽样得到的该企业部分员工年收入(单位:万元)频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图计算样本的平均数.并以此估算该企业全体员工中年收入不低于样本平均数的人数(同一组中的数据以这数据所在区间中点的值作代表);
(2)若抽样调查中收入在万元员工有2人,求在收入在
万元的员工中任取3人,恰有2位员工收入在
万元的概率;
(3)若抽样调查的样本容量是400人,在这400人中:年收入在万元的员工中具有大学及大学以上学历的有
,年收入在
万元的员工中不具有大学及大学以上学历的有
,将具有大学及大学以上学历和不具有大学及大学以上学历的员工人数填入下面的列联表,并判断能否有
的把握认为具有大学及大学以上学历和不具有大学及大学以上学历的员工收入有差异?
具有大学及大学以上学历 | 不具有大学及大学以上学历 | 合计 | |
| |||
| |||
合计 |
附:;
0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com