Question

5．设0＜a＜1，若对任意的x∈[a，2a]，都有y∈[$\frac{a}{2}$，2a]满足方程log_ay-log_ax=1，则实数a的取值范围是$[\frac{1}{2}，1）$．

Answer 1

分析 先由方程log_ay-log_ax=1，解出y=ax，转化为函数的值域问题求解．

解答 解：∵方程log_ay-log_ax=1，∴y=ax，
∵0＜a＜1，若对任意的x∈[a，2a]，都有y∈[$\frac{a}{2}$，2a]
y=f（x）在区间[a，2a]单调增函数；a≤x≤2a
可得a²≤ax≤2a²，y∈[$\frac{a}{2}$，2a]，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}≥\frac{a}{2}\\ 2{a}^{2}≤2a\\ 0＜a＜1\end{array}\right.$解得：$\frac{1}{2}≤a＜1$．
故答案为：[$\frac{1}{2}，1$）．

点评 本题考查对数式的运算、反比例函数的值域、集合的关系等问题，难度不大．注意函数和方程思想的应用．