Question

已知函数f(x)＝x³＋ax²＋bx＋a²(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝1处有极值10，求b的值；
(2)若对于任意的a∈[－4，＋∞)，f(x)在x∈[0,2]上单调递增，求b的最小值．

Answer 1

（1）b＝－11   （2）

解：(1)f′(x)＝3x²＋2ax＋b，
于是，根据题设有，
解得或.
当时，f′(x)＝3x²＋8x－11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点；
当时，f′(x)＝3(x－1)²≥0，所以函数无极值点．
所以b＝－11.
(2)由题意知f′(x)＝3x²＋2ax＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，
所以F(a)＝2xa＋3x²＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立．
因为x≥0，
所以F(a)在a∈[－4，＋∞)上为单调递增函数或为常数函数，
①当F(a)为常数函数时，F(a)＝b≥0；
②当F(a)为增函数时，F(a)_min＝F(－4)＝－8x＋3x²＋b≥0，
即b≥(－3x²＋8x)_max对任意x∈[0,2]都成立，
又－3x²＋8x＝－3(x－)²＋≤，
所以当x＝时，(－3x²＋8x)_max＝，所以b≥.
所以b的最小值为.