已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)定义:若函数在区间
上的取值范围为
,则称区间
为函数
的“域同区间”.试问函数
在
上是否存在“域同区间”?若存在,求出所有符合条件的“域同区间”;若不存在,请说明理由.
(1),
;(2)不存在,详见解析.
【解析】
试题分析:(1)先求出函数的定义域与导数,求出极值点后,利用图表法确定函数
的单调性,从而确定函数
的极大值与极小值;(2)结合(1)中的结论可知,函数
在区间
上单调递增,根据定义得到
,
,问题转化为求方程
在区间
上的实数根,若方程的根的个数小于
,则不存在“域同区间”;若上述方程的根的个数不少于
,则存在“域同区间”,并要求求出相应的根,从而确定相应的“域同区间”.
试题解析:(1),定义域为
,
且,
令,解得
或
,列表如下:
| |||||
增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
故函数在
处取得极大值,即
,
函数在
处取得极小值,即
;
(2)由(1)知,函数在区间
上单调递增,
假设函数在区间
上存在“域同区间”
,则有
,
,
则方程在区间
上至少有两个不同的实数根,
构造新函数,定义域为
,
,令
,解得
,
,
当时,
;当
时,
,
故函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
因为,
,
,故函数
在区间
上存在唯一零点,
即方程在区间
上只存在唯一实数根,
故函数在区间
上不存在“域同区间”.
考点:1.函数的极值;2.新定义;3.函数的零点
科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业七十一第十章第八节练习卷(解析版) 题型:选择题
一只袋内装有m个白球,n-m个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了ξ个白球,下列概率等于的是( )
(A)P(ξ=3) (B)P(ξ≥2)
(C)P(ξ≤3) (D)P(ξ=2)
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科目:高中数学 来源:2014年陕西省咸阳市高考模拟考试(一)理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知A={x|,x∈R},B={x||x-i|<
,i为虚数单位,x>0},则A
B=( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
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科目:高中数学 来源:2014年广东省广州市毕业班综合测试一文科数学试卷(解析版) 题型:填空题
如图,是圆
的切线,切点为点
,直线
与圆
交于
、
两点,
的角平分线交弦
、
于
、
两点,已知
,
,则
的值为 .
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年(安徽专用)高考数学(文)仿真模拟卷2练习卷(解析版) 题型:填空题
一次射击训练,某小组的成绩只有7环、8环、9环三种情况,且该小组的平均成绩为8.15环,设该小组成绩为7环的有x人,成绩为8环、9环的人数情况见下表:
环数(环) | 8 | 9 |
人数(人) | 7 | 8 |
那么x=________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年(安徽专用)高考数学(文)专题阶段评估模拟卷6练习卷(解析版) 题型:填空题
一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球,其中一个编号为1,两个编号为2,三个编号为3.现从中任取一球,记下编号后放回,再任取一球,则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________.
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