【题目】从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如图所示的频率分布直方图.
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);
②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)上的产品件数,利用①的结果,求E(X).
附:≈12.2.
若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 4.
【答案】(1)200,150(2) 0.6826, 68.26
【解析】
(1)运用离散型随机变量的期望和方差公式,即可求出;
(2)①由(1)知Z~N(200,150),从而求出P(187.8<Z<212.2),注意运用所给数据;
②由①知X~B(100,0.6826),运用EX=np即可求得.
(1)抽取的产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,
s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.
(2)① 由(1)知,可近似认为Z~N(200,150),
从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.682 6.
②由① 知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)上的概率为0.6826,
依题意知X~B(100,0.682 6),所以E(X)=100×0.6826=68.26.
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【题目】某高校在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动,要求每位同学至少参加一次活动.该高校2014级某班50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示.
(1)从该班中任意选两名学生,求他们参加活动次数不相等的概率.
(2)从该班中任意选两名学生,用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.
(3)从该班中任意选两名学生,用η表示这两人参加活动次数之和,记“函数f(x)=x2﹣ηx﹣1在区间(3,5)上有且只有一个零点”为事件A,求事件A发生的概率.
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【题目】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.
(1)单位向量共有多少个?
(2)试写出模为的所有向量.
(3)试写出与相等的所有向量.
(4)试写出的相反向量.
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【题目】某公司的生产部门调研发现,该公司第二、三季度的月用电量与月份线性相关,且数据统计如下表:
但核对电费报表时发现一组数据统计有误.
(1)请指出哪组数据有误,并说明理由;
(2)在排除有误数据后,求月用电量与月份之间的回归方程,并预测统计有误月份的用电量.(结果精确到0.1)
附注:,
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【题目】已知平行四边形ABCD中,∠A=45°,且AB=BD=1,将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图所示:
(1)求证:AB⊥CD;
(2)若M为AD的中点,求二面角A﹣BM﹣C的余弦值.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列,sinB= ,
(1)求 +
的值;
(2)若
=12,求a+c的值.
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【题目】如图,双曲线 =1(a,b>0)的两顶点为A1 , A2 , 虚轴两端点为B1 , B2 , 两焦点为F1 , F2 . 若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2 , 切点分别为A,B,C,D.则: (Ⅰ)双曲线的离心率e=;
(Ⅱ)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值 = .
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【题目】如图,一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角60°的菱形,俯视图为正方形,则此几何体的内切球表面积为( )
A.8π
B.4π
C.3π
D.2π
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