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    （本题满分12分）

    在直角坐标系中，动点到两圆的圆心和的距离的和等于.

    (Ⅰ) 求动点的轨迹方程；

    (Ⅱ) 以动点的轨迹与轴正半轴的交点C为直角顶点作此轨迹的内接等腰直角三角形ABC,试问:这样的等腰直角三角形是否存在?若存在,有几个?若不存在,请说明理由.

     

    【答案】

    解：(Ⅰ)两圆的圆心坐标分别为、，根据椭圆的定义可知，动点的轨迹为以、为焦点，长轴长等于的椭圆.

    由得,所以，动点的轨迹方程

    (Ⅱ)由(Ⅰ)得C点的坐标为

    不妨设A、B两点分居于y轴的左、右两侧,设CA的斜率为,

    则>0,CA所在直线的方程为.

    代入椭圆方程并整理得.

    ∴或.∴A点的坐标为.

    ∴.    同理,.

    由|CA|=|CB|得,

    ∴解得或或

    ∴符合题意的等腰直角三角形一定存在,且有3个.

    【解析】略

     

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