Question

已知函数f(x)=sin2x+

3

sinxcosx+

1

2

．
（1）求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量x的集合．
（2）求函数的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过正弦函数的最值求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量x的集合．
（2）利用正弦函数的单调增区间在求解函数的单调递增区间．

解答：解：（1）由f(x)=sin2x+

3

sinxcosx+

1

2

=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x+

1

2

=sin(2x-

π

6

)+1．
∴f(x)=sin(2x-

π

6

)+1，…（3分）
∴f(x)max=2，x∈{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z}…（5分）
∴f(x)min=0，x∈{x|x=kπ-

π

6

，k∈Z}…（7分）
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

即x∈[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)
∴函数的单调递增区间：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)…（12分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式以及两角和的正弦函数的应用，正弦函数的最值以及单调区间的求解，考查计算能力．