分析:(1)根据函数的图象关于原点对称,可得f(x)是定义在R的奇函数,图象必过原点,即f(0)=0,求出a的值,求出函数F(x)的解析式,解指数方程求求出函数的零点;
(2)函数
h(x)=f(x)+2x-在[0,1]内存在零点,方程(2
x)
2+2
x+1-1-b=0在[0,1]内有解,分析函数b=(2
x)
2+2
x+1-1在[0,1]内的单调性,及端点的函数值符号,进而根据零点存在定理得到结论.
(3)由不等式f
-1(x)≤g(x)在
x∈[,]上恒成立,利用基本不等式可求出满足条件的k的范围,进而求出最小整数k的值.
解答:解:(1)由题意知f(x)是R上的奇函数,
所以f(0)=0得a=1
∴
f(x)=∴F(x)=
+
2x--1=
由(2
x)
2+2
x-6=0,可得2
x=2,
所以,x=1,即F(x)的零点为x=1
(2)
h(x)=+2x-=有题设知h(x)=0在[0,1]内有解,即方程(2
x)
2+2
x+1-1-b=0在[0,1]内有解
b=(2
x)
2+2
x+1-1=(2
x+1)
2-2在[0,1]内递增,2≤b≤7
所以当2≤b≤7时函数
h(x)=f(x)+2x-在[0,1]内存在零点
(3)由f
-1(x)≤g(x)得
log2≤log4k+x≥,显然
x∈[,]时k+x>0,即
k≥设
m=1-x ,由于x∈[,] 所以m∈[,]于是
==2m+-5∈[4,]所以
k≥满足条件的最小整数k的值是k=8.
点评:本题考查的知识点是函数零点的判定定理,函数恒成立问题,基本不等式,函数的最值,是函数图象和性质及函数零点,函数恒成立问题的一个比较复杂的综合应用,难度较大.