【题目】现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板,移动三角板,使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N.
(1)如图1,若点O与点A重合,则OM与ON的数量关系是
(2)如图2,若点O在正方形的中心(即两对角线交点),则(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;
(3)如图3,若点O在正方形的内部(含边界),当OM=ON时,请探究点O在移动过程中可形成什么图形?
(4)如图4,是点O在正方形外部的一种情况.当OM=ON时,请你就“点O的位置在各种情况下(含外部)移动所形成的图形”提出一个正确的结论.(不必说明)
【答案】
(1)OM=ON
(2)
解:仍成立.
证明:如图2,
连接AC、BD,则
由正方形ABCD可得,∠BOC=90°,BO=CO,∠OBM=∠OCN=45°
∵∠MON=90°
∴∠BOM=∠CON
在△BOM和△CON中
∴△BOM≌△CON(ASA)
∴OM=ON.
(3)
解:如图3,
过点O作OE⊥BC,作OF⊥CD,垂足分别为E、F,则∠OEM=∠OFN=90°
又∵∠C=90°
∴∠EOF=90°=∠MON
∴∠MOE=∠NOF
在△MOE和△NOF中
∴△MOE≌△NOF(AAS)
∴OE=OF
又∵OE⊥BC,OF⊥CD
∴点O在∠C的平分线上
∴O在移动过程中可形成线段AC.
(4)
解:O在移动过程中可形成直线AC.
【解析】(1)解:若点O与点A重合,则OM与ON的数量关系是:OM=ON;
(1)根据△OBM与△ODN全等,可以得出OM与ON相等的数量关系;
(2)连接AC、BD,则通过判定△BOM≌△CON,可以得到OM=ON;
(3)过点O作OE⊥BC,作OF⊥CD,可以通过判定△MOE≌△NOF,得出OE=OF,进而发现点O在∠C的平分线上;
(4)可以运用(3)中作辅助线的方法,判定三角形全等并得出结论.本题主要考查了四边形中的正方形,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形.解题时需要运用全等三角形的判定与性质,以及角平分线的判定定理.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数).
(1)判断直线与曲线的位置关系,并说明理由;
(2)若直线和曲线相交于两点,且,求直线的斜率.
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【题目】如图,已知四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD且PD=AD,则下列命题中错误的是( )
A.过BD且与PC平行的平面交PA于M点,则M为PA的中点
B.过AC且与PB垂直的平面交PB于N点,则N为PB的中点
C.过AD且与PC垂直的平面交PC于H点,则H为PC的中点
D.过P、B、C的平面与平面PAD的交线为直线l,则l∥AD
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点(不含端点B、C).若线段AD长为正整数,则点D的个数共有( )
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
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【题目】如图,在多面体中,底面是边长为的正方形,四边形是矩形,平面平面, , 和分别是和的中点.
(Ⅰ)求证: 平面.
(Ⅱ)求证:平面平面.
(Ⅲ)求多面体的体积.
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【题目】已知双曲线的焦点是椭圆: ()的顶点,且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设动点, 在椭圆上,且,记直线在轴上的截距为,求的最大值.
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【题目】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为
(1)求频率分布直方图中的值;
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;
(3)从评分在的受访职工中,随机抽取2人,求此2人评分都在的概率.
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