Question

【题目】已知函数f（x）=cosωxsin（ωx﹣ ）+ cos2ωx﹣ （ω＞0，x∈R），且函数y=f（x）图象的一个对称中心到它对称轴的最近距离为 ．
（1）求ω的值及f（x）的对称轴方程；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=0，sinB= ，a= ，求b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=cosωxsin（ωx﹣ ）+ cos2ωx﹣ （ω＞0，x∈R），

化简可得：f（x）= sinωxcosωx﹣ cos2ωx+ cos2ωx﹣ （ω＞0，x∈R），

= sin2ωx+ cos2ωx﹣ = sin2ωx+ cos2ωx= sin（2ωx ）

∵函数y=f（x）图象的一个对称中心到它对称轴的最近距离为 ．

∴T=4× =π，

∴ ，

故得ω=1．

∴f（x）= sin（2x ），

对称轴方程：2x = ，

得：x= ，k∈Z．

∴f（x）的对称轴方程为：x= ，k∈Z．

（2）解：∵f（A）=0，即sin（2A ）=0，

∴2A =kπ，

∵0＜A＜π，

∴A= ，

∵sinB= ，a= ，

由正弦定理， ，可得： ，解得：b= ．

故得b的值为： ．

【解析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，对称中心到它对称轴的最近距离为 ，可得周期T，从而求出ω．结合三角函数的图象和性质，可得f（x）的对称轴方程；（2）根据f（A）=0，求解出A角的大小，sinB= ，a= ，根据正弦定理可得b的值．