Question

已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切．
（1）求圆的方程；
（2）若直线ax-y+5=0（a≠0）与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．
由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，
所以，即|4m-29|=25．
即4m-29=25或4m-29=-25，
解得m=或m=1，
因为m为整数，故m=1，
故所求的圆的方程是（x-1）²+y²=25；
（2）设符合条件的实数a存在，
∵a≠0，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2-4a=0．
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．
所以1+0+2-4a=0，解得．
经检验时，直线ax-y+5=0与圆有两个交点，
故存在实数，使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB．
分析：（1）由题意圆心在x轴，且圆心横坐标是整数，设出圆心M的坐标，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据直线与圆相切，得到d与半径r相等，列出关于m的不等式，求出不等式的解即可得到m的值，确定出圆心坐标，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可；
（2）假设符合条件的实数a存在，由a不为0，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由直线ax-y+5=0的斜率表示出直线l方程的斜率，再由P的坐标和表示出的斜率表示出直线l的方程，根据直线l垂直平分弦AB，得到圆心M必然在直线l上，所以把M的坐标代入直线l方程中，得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，把求出的a的值代入确定出直线l的方程，经过检验发现直线ax-y+5=0与圆有两个交点，故存在．
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及直线与圆相交的性质．要求学生掌握直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．根据直线l垂直平分弦AB得到圆心M必然在直线l上是解本题第二问的关键．