Question

抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．

Answer 1

分析：依题意，设抛物线方程为y²=2px，可求得过焦点且倾斜角为135°的直线方程为y=-x+

1

2

p，利用抛物线的定义结合题意可求得p，从而可求得抛物线方程；同理可求抛物线方程为y²=-2px时的结果．

解答：解：如图所示，依题意，设抛物线方程为y²=2px，则直线方程为y=-x+

1

2

p．设直线交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D．
则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|
=x₁+

p

2

+x₂+

p

2

，（4分）
即x₁+

p

2

+x₂+

p

2

=8．①
又A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是抛物线和直线的交点，
由

y=-x+ 1 2 p y2=2px

消去y，得x²-3px+

p2

4

=0，
∵△=9p²-4×

p2

4

=8p²＞0．
∴x₁+x₂=3p．
将其代入①得p=2，
∴所求抛物线方程为y²=4x．
当抛物线方程设为y²=-2px（p＞0）时，
同理可求得抛物线方程为y²=-4x．
故所求抛物线方程为y²=4x或y²=-4x．（8分）

点评：本题考查抛物线的标准方程，突出抛物线定义得应用，考查方程组思想与化归思想的综合运用，考查分析与运算能力，属于中档题．