Question

已知椭圆x2+

y2

b2

=1(0＜b＜1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B，过F，B，C三点作⊙P，且圆心在直线x+y=0上，求此椭圆的方程．

Answer 1

分析：根据圆的性质，得圆心P在FC的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点．因此分别算出FC、BC的垂直平分线方程，得到它们的交点为P（

1-c

2

，

b2-c

2b

），代入直线x+y=0解出b2=

1

2

，即可得出此椭圆的方程．

解答：解：设圆心P的坐标为（m，n）．
∵⊙P过点F、B、C三点，∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，
FC的垂直平分线方程为x=

1-c

2

．-----------①
∵BC的中点为(

1

2

，

b

2

)，k_BC=-b，
∴BC的垂直平分线方程为y-

b

2

=

1

b

(x-

1

2

)，----------②
由①、②联解，得x=

1-c

2

，y=

b2-c

2b

，即m=

1-c

2

，n=

b2-c

2b

．
∵P（m，n）在直线x+y=0上，∴

1-c

2

+

b2-c

2b

=0，可得（1+b）（b-c）=0．
∵1+b＞0，
∴b=c，结合b²=1-c²得b2=

1

2

，
∴椭圆的方程为x2+

y2

1 2

=1，即x²+2y²=1．

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程．着重考查了直线的方程、直线与圆的位置关系和椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．