Question

1．数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，且a_n+2=$\frac{{a}_{n+1}^{2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$（n∈N^•），则（$\frac{{a}_{2}{a}_{1}}{{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{2}{a}_{2}}{{a}_{4}}$+…+$\frac{{a}_{2}{a}_{2007}}{{a}_{2009}}$）-$\frac{{a}_{3}{a}_{2007}}{{a}_{2010}}$为-19109427．

Answer 1

分析 a_n+2=$\frac{{a}_{n+1}^{2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$（n∈N^•），变形为$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+2}}$-$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=1，$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=2．利用等差数列的通项公式可得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=n+1．a₃．可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+2}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$•$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+2}}$．$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+3}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$•$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+2}}$$•\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+3}}$，代入即可得出．

解答 解：∵a_n+2=$\frac{{a}_{n+1}^{2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$（n∈N^•），
∴$\frac{1}{{a}_{n+2}}$=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}^{2}}$，
化为$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+2}}$-$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=1，
$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=2．
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}\}$是等差数列，首项为2，公差为1．
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=2+（n-1）=n+1．
∴a₃=$\frac{1}{6}$．
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+2}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$•$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+2}}$=（n+1）（n+2）=n²+3n+2．
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+3}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$•$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+2}}$$•\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+3}}$=（n+1）（n+2）（n+3），
∴$\frac{{a}_{2007}}{{a}_{2010}}$=2008×2009×2010．
∴（$\frac{{a}_{2}{a}_{1}}{{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{2}{a}_{2}}{{a}_{4}}$+…+$\frac{{a}_{2}{a}_{2007}}{{a}_{2009}}$）-$\frac{{a}_{3}{a}_{2007}}{{a}_{2010}}$=$\frac{1}{2}$[（1²+2²+…+2007²）+$3×\frac{2007×（2007+1）}{2}$+2×2007]-$\frac{1}{6}$×2008×2009×2010．
=$\frac{1}{2}[\frac{2007×2008×（2×2007+1）}{6}$+$3×\frac{2007×2008}{2}+2×2007]$-$\frac{1}{6}$×2008×2009×2010．
=-19109427．
故答案为：-19109427．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系的应用，考查了化简计算能力，属于中档题．