Question

如图，已知多面体ABCDEF中，AB⊥平面ACDF，DE⊥平面ACDF，△ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=AF=1，DF=

3

．
（Ⅰ）求证：DF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析：（1）取△ACD边CD上的中点G，连接AG，由等边三角形三线合一可得AG⊥CD，进而证得四边形AFGD为平行四边形后，可得DF⊥CD，再由DE⊥平面ACDF，由线面垂直的性质可得DE⊥DF，进而由线面垂直的判定定理可得DF⊥平面CDE；
（Ⅱ）将多面体ABCDEF补成一个直三棱柱，则其体积V=V_CDE-NFM-V_C-ABN-V_E-MFB，代入棱柱体积公式及棱锥体积公式，可得答案．

解答：证明：（Ⅰ）∵取△ACD边CD上的中点G，连接AG
由△ACD是边长为2的正三角形，
故AG=DF=

3

，AG⊥CD，DG=AF=1，
则四边形AFGD为平行四边形
则DF⊥CD，
又∵DE⊥平面ACDF，
∴DE⊥DF
又∵DE∩CD=D，DE，CD?平面CDE
∴DF⊥平面CDE．…..…..（6分）
解：（Ⅱ）可证该几何体是直三棱柱EFM-CDE的一部分，
其体积V满足：

V=VCDE-NFM-VC-ABN-VE-MFB = 1 2 ×2×2× 3 - 1 3 × 1 2 ×1×1× 3 - 1 3 × 1 2 × 2 × 2 × 3 = 3 3 2

…..（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱柱，棱锥的体积，熟练掌握线面垂直的性质及判定定理是解答的关键．