Question

2．已知椭圆的两焦点为F₁（0，-2）、F₂（0，2），离心率为$\frac{1}{2}$
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点P在椭圆上，且|PF₁|•|PF₂|=16，求∠F₁PF₂．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，求椭圆的标准方程；
（2）设点P在椭圆上，且|PF₁|•|PF₂|=16，由（1）知由椭圆定义知|PF₁|+|PF₂|=2a=8，利用余弦定理求∠F₁PF₂．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）----（1分）
由题设知c=2，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$∴a=4，b²=a²-c²=12…（4分）
∴所求椭圆方程为$\frac{y^2}{16}$+$\frac{x^2}{12}$=1…（6分）
（2）由（1）知由椭圆定义知|PF₁|+|PF₂|=2a=8，
∴${|{P{F_1}}|^2}+{|{P{F_2}}|^2}+2|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|=64$，
又|PF₁|•|PF₂|=16…（9分）
∴${|{P{F_1}}|^2}+{|{P{F_2}}|^2}=32$，…（10分）
由余弦定理$cos∠{F_1}P{F_2}=\frac{{{{|{P{F_1}}|}^2}+{{|{P{F_2}}|}^2}-{{|{{F_1}{F_2}}|}^2}}}{{2|{P{F_1}}||{P{F_2}}|}}=\frac{32-16}{2×16}=\frac{1}{2}$…（12分）
∵∠F₁PF∈[0，π），∴$∠{F_1}PF=\frac{π}{3}$…（14分）

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．