Question

    如下图，已知三棱柱A₁B₁C₁—ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A₁A与AB，AC均成45°角，且A₁E⊥B₁B于E，A₁F⊥CC₁于F.

    (1)求证：平面A₁EF⊥平面B₁BCC₁；

    (2)求点A₁到平面B₁BCC₁的距离；

    (3)当AA₁多长时，点A₁到平面ABC与平面B₁BCC₁的距离相等？

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)证明：已知A1E⊥B1B于E，A1F⊥C1C于F，     由B1B⊥平面A1EF，得平面A1EF⊥平面B1BCC1.     (2)解：易得△A1EF为等腰直角三角形，取EF的中点N，连A1N，则A1N⊥EF，     所以A1N⊥平面B1BCC1.     所以A1N为点A1到平面B1BCC1的距离.     又，所以点A1到平面B1BCC1 的距离为1.     (3)解：设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连AD，DD1和A1D1，则N∈DD1.     ∵DD1∥BB1∥AA1,     ∴A、A1、D、D1四点共面.∴AD∥A1D1.     ∴A1ADD1为平行四边形.     ∵B1C1⊥A1D1，A1N⊥平面BCC1B1，     ∴B1C1⊥D1D，又B1C1⊥A1N.     ∴B1C1⊥平面ADD1A1.∴BC⊥平面ADD1A1.     ∴平面A1ADD1⊥平面ABC.     作A1M⊥面ABC于M，则点M在AD上，     若A1M=A1N，又∠A1AD=∠A1D1D，∠A1MA=∠A1ND1=90°,     则Rt△A1MA≌Rt△A1ND1，于是,       即当A1A=时，点A1到平面ABC和平面B1BCC1的距离相等.