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已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)
(1)若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆,求m的取值范围;
(2)设m=4,曲线c与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线.
(1)原曲线方程可化简得:
x2
8
5-m
+
y2
8
m-2
=1

由题意,曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得:
8
5-m
8
m-2
8
5-m
>0
8
m-2
>0
,解得:
7
2
<m<5

(2)证明:由已知直线代入椭圆方程化简得:(2k2+1)x2+16kx+24=0,△=32(2k2-3)>0,解得:k2
3
2

由韦达定理得:xM+xN=-
16k
2k2+1
①,xMxN=
24
2k2+1
,②
设N(xN,kxN+4),M(xM,kxM+4),G(xG,1),MB方程为:y=
kxM+6
xM
x-2
,则G(
3xM
kxM+6
,1)

AG
=(
3xM
kxM+6
,-1)
AN
=(xN,kxN+2),
欲证A,G,N三点共线,只需证
AG
AN
共线
3xM
xMk+6
(xNk+2)=-xN
成立,化简得:(3k+k)xMxN=-6(xM+xN
将①②代入可得等式成立,则A,G,N三点共线得证.
练习册系列答案
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如图,外一点,是切线,为切点,割线相交于的中点,的延长线交于点.证明:
(1)
(2)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C1
x2
4
+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,
OB
=2
OA
,求直线AB的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,M是椭圆短轴的一个端点,过F1的直线l与椭圆交于A,B两点,△MF1F2的面积为4,△ABF2的周长为8
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设点Q的坐标为(1,0),是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆,使得该圆与直线PF1,PF2都相切,如存在,求出P点坐标及圆的方程,如不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图椭圆C的方程为
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
,A是椭圆C的短轴左顶点,过A点作斜率为-1的直线交椭圆于B点,点P(1,0),且BPy轴,△APB的面积为
9
2

(1)求椭圆C的方程;
(2)在直线AB上求一点M,使得以椭圆C的焦点为焦点,且过M的双曲线E的实轴最长,并求此双曲线E的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率e=
2
2
,过右焦点F且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,且|AB|=
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+t(t≠0)与椭圆C相交于M,N两点,直线AO平分线段MN,求△OMN的面积的最大值及此时直线l的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过点M(3
2
2
),椭圆的离心率e=
2
2
3

(1)求椭圆C的方程;
(2)过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A、B.若∠AMB的平分线与y轴平行,试探究直线AB的斜率是否为定值?若是,请给予证明;若不是,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

直线y=kx+2与双曲线x2-y2=2有且只有一个交点,那么实数k的值是(  )
A.k=±1B.k=±
3
C.k=±1或k=±
3
D.k=±
2

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

抛物线y2=4x上一定点P(x0,2),直线l的一个方向向量
d
=(1,-1)

(1)若直线l过P,求直线l的方程;
(2)若直线l不过P,且直线l与抛物线交于A,B两点,设直线PA,PB的斜率为kPA,kPB,求kPA+kPB的值.

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