Question

（2013•南开区二模）设函数f(x)=lnx-

1

2

ax2+x．
（1）当a=2时，求f（x）的最大值；
（2）令F(x)=f(x)+

1

2

ax2-x+

a

x

（0＜x≤3），以其图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=0时，方程mf（x）=x²有唯一实数解，求正数m的值．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入函数f(x)=lnx-

1

2

ax2+x，对f（x）进行求导，求出其极值，根据导数来求最值；
（2）对F（x）进行求导，求过点P（x₀，y₀）的切线，求出k用x0的表达出来，再根据斜率k≤

1

2

恒成立，从而求出a的范围；
（3）当a=0时，方程mf（x）=x²即x²-mx-mlnx=0，令g（x）=x²-mx-mlnx，对其进行求导，利用导数来画出函数的草图，从而来求解；

解答：解（1）a=2时，f（x）=lnx+x-x²，f/(x)=

1

x

+1-2x…（1分），
解f′（x）=0得x=1或x=-

1

2

（舍去）…（2分），
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调增加，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调减少…（3分），
所以f（x）的最大值为f（1）=0…（4分）
（2）F(x)=lnx+

a

x

（0＜x≤3），k=F/(x0)=

1

x0

-

a

x02

（0＜x₀≤3）…（6分）
由k≤

1

2

恒成立得a≥x0-

1

2

x02=-

1

2

(x0-1)2+

1

2

恒成立…（7分）
因为-

1

2

(x0-1)2+

1

2

≤

1

2

，等号当且仅当x₀=1时成立…（8分），
所以a≥

1

2

…（9分）
（3）a=0时，方程mf（x）=x²即x²-mx-mlnx=0，
设g（x）=x²-mx-mlnx，
解g/(x)=2x-m-

m

x

=0…（10分），得x1=

m- m2+8m

4

（＜0舍去），x2=

m+ m2+8m

4

，
类似（1）的讨论知，g（x）在x∈（0，x₂）单调增加，
在x∈（x₂，+∞）单调减少，最大值为g（x₂）…（11分），
因为mf（x）=x²有唯一实数解，g（x）有唯一零点，所以g（x₂）=0…（12分），
由

g′ (x2)=0 g(x2)=0

得x₂+2lnx₂-1=0，
因为h（x）=x+lnx-1单调递增，且h（1）=0，
所以x₂=1…（13分），
从而m=1…（14分）．

点评：此题考查利用导数来研究函数的切线，最值和函数的单调性，是高考必考的一类题，此题是一道中档题．