Question

（2005•海淀区二模）设椭圆C₁的中心在原点，其右焦点与抛物线C₂：y²=4x的焦点F重合，过点F与x轴垂直的直线与C₁交于A、B两点，与C₂交于C、D两点，已知

|CD|

|AB|

=

4

3

．
（Ⅰ）过点F且倾斜角为

π

3

的直线与C₂：y²=4x交于P、Q两点，求|PQ|的值；
（Ⅱ）求椭圆C₁的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由抛物线方程求出交点F的坐标，写出直线l的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式求得|PQ|的值；
（Ⅱ）联立抛物线和直线x=1求出C和D的坐标，根据对称性得到

|FC|

|FA|

=

|CD|

|AB|

=

4

3

，由此得到A的坐标，代入椭圆方程，结合隐含条件机焦点坐标可求a，b的值，则椭圆方程可求．

解答：解：（I）由y²=4x，得F（1，0），倾斜角为

π

3

，∴斜率为

3

．
则l：y=

3

(x-1)
由方程组

y2=4x y= 3 (x-1)

，得3x²-10x+3=0
△=100-4×9=64＞0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则x1+x2=

10

3

，x1x2=1．
∴|PQ|=

1+3

•

64

3

=

16

3

；
（II）解方程组

y2=4x x=1

，得C（1，2），D（1，-2）
由于C₁，C₂，都关于x轴对称，
∴

|FC|

|FA|

=

|CD|

|AB|

=

4

3

|FA|=

3

4

×2=

3

2

∴A（1，

3

2

）．
∴

1

a2

+

9

4b2

=1，又a2-b2=c2=1
得

1

b2+1

+

9

4b2

=1．
解得：b²=3，∴a²=4
∴

x2

4

+

y2

3

=1为所求．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，利用圆锥曲线的对称性是解答该题的关键，是中高档题．