Question

【题目】已知函数f（x）=4cosxsin（x+ ）﹣1， （Ⅰ）求f（x）的单调递增区间
（Ⅱ）若sin2x+af（x+ ）+1＞6cos4x对任意x∈（﹣ ， ）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由函数f（x）=4cosxsin（x+ ）﹣1， 可得：f（x）=4cosx（ sinx+ cosx）﹣1
= sin2x+2cos2x﹣1
= sin2x+cos2x
=2sin（2x+ ）
由 （k∈Z），
解得：
所以：f（x）的单调增区间为
（Ⅱ）由题意：当 时，
原不等式等价于a2cos2x＞6cos4x﹣sin2x﹣1，
即 恒成立
令 =
∵ ，当x=0时，cosx取得最大值，即cosx=1时，那么g（x）也取得最大值为 ．
因此， ．
【解析】（Ⅰ）先利用两角和余差的基本公式和辅助角公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（Ⅱ）求出f（x+ ）的值，带到题设中去，化简，求函数在x∈（﹣ ， ）的最值，即可恒成立，从而求实数a的取值范围．