Question

在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2，4；再染4后面最临近的三个连续奇数5，7，9；再染9后面最临近的四个连续偶数10，12，14，16；再染此后最临近的五个连续奇数17，19，21，23，25．按此规则一直染下去．得到一个红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19，21，23，25…．则红色子数列由1开始的第2010个数是

3957

．

Answer 1

分析：根据题意知，每次涂成红色的数字成等差数列，并且第n次染色时所染的第一个数是（n-1）²+1，最后染色的数是n²，可以求出2010个数是在第63次染色的第56个数，因此可求得结果

解答：解：第1个为1，
第2，3个为2～4的偶数，
第4，5，6个为5～9的奇数，
第7～10个为10～16的偶数，
第11～15个为17～25的奇数，…
第

n(n-1)

2

+1，…，

n(n+1)

2

+1个为（n-1）²+1～n² 的奇数或偶数，
而2010=

63(63-1)

2

+57，
∴第2010个数是（63-1）²+1+2（57-1）=3844+1+112=3957．
故答案为：3957．

点评：考查数列的性质和应用，解题时注意公式的灵活应用，此题是以一个数阵形式呈现的，考查观察、分析、归纳、解决问题的能力，属中档题．