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已知集合A={a1,a2,a3,…,an},其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),l(A)表示和ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的个数.
(Ⅰ)设集合P={2,4,6,8},Q={2,4,8,16},分别求l(P)和l(Q);
(Ⅱ)对于集合A={a1,a2,a3,…,an},猜测ai+aj(1≤i<j≤n)的值最多有多少个;
(Ⅲ)若集合A={2,4,8,…,2n},试求l(A).
【答案】分析:(Ⅰ)根据题中的有关新定义并且结合题中所给的集合即可得到l(P)和l(Q)的答案.
(II)根据组合的有关知识可得:=个,再结合题中所给的定义解释即可得到答案.
(Ⅲ) 由题意可得:,再分情况讨论当j≠l时与当j=l,i≠k时,均有ai+aj≠ak+al,进而得到
解答:解:(Ⅰ)因为集合P={2,4,6,8},
所以2+4=6,2+6=8,2+8=10,4+6=10,4+8=12,6+8=14,
所以可得:l(P)=5.
因为集合Q={2,4,8,16},
所以2+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16=20,8+16=24,
所以可得:l(Q)=6.
(Ⅱ)对于集合A={a1,a2,a3,…,an},ai+aj(1≤i<j≤n)的值最多有个.
因为在集合A的n个元素中任取一个元素,共有n种,再从余下的n-1个元素中任取一个元素,
共有n-1种.把取出的元素两两作和共有n(n-1)个,
因为aj+ai=ai+aj等情况,
所以对于集合A={a1,a2,a3,…,an},ai+aj(1≤i<j≤n)的值最多有个.
(Ⅲ) 因为集合A={a1,a2,a3,…,an}最多有个ai+aj(1≤i<j≤n)的值,
所以
又集合A={2,4,8,…,2n},任取ai+aj,ak+al(1≤i<j≤n,1≤k<l≤n),
当j≠l时,不妨设j<l,则ai+aj<2aj=2j+1≤al<ak+al,即ai+aj≠ak+al
当j=l,i≠k时,ai+aj≠ak+al
因此,当且仅当i=k,j=l时,ai+aj=ak+al
即所有ai+aj(1≤i<j≤n)的值两两不同,
所以
点评:本题主要考查集合与元素的关系,以及组合的有关知识,认真审题,正确的理解题意并且仔细解答是解题的关键点.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合A=a1,a2,…,an中的元素都是正整数,且a1<a2<…<an,对任意的x,y∈A,且x≠y,有|x-y|≥
xy
25

(Ⅰ)求证:
1
a1
-
1
an
n-1
25
;    
(Ⅱ)求证:n≤9;
(Ⅲ)对于n=9,试给出一个满足条件的集合A.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合A=a1,a2,a3,…,an,其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),l(A)表示和ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的个数.
(Ⅰ)设集合P=2,4,6,8,Q=2,4,8,16,分别求l(P)和l(Q);
(Ⅱ)若集合A=2,4,8,…,2n,求证:l(A)=
n(n-1)2

(Ⅲ)l(A)是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由?

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合A={a1,a2,…,an}中的元素都是正整数,且a1<a2<…<an,对任意的x,y∈A,且x≠y,都有|x-y| ≥
xy
36

(1)求证:
1
a1
-
1
an
n-1
36
;(提示:可先求证
1
ai
-
1
ai+1
1
36
(i=1,2,…,n-1),然后再完成所要证的结论.)
(2)求证:n≤11;
(3)对于n=11,试给出一个满足条件的集合A.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合A={a1,a2,a3,…,an},其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),l(A)表示ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的个数.
(1)设集合P={2,4,6,8},Q={2,4,8,16},分别求l(P)和l(Q)的值;
(2)若集合A={2,4,8,…,2n},求l(A)的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合A={a1,a2,…,an},其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),l(A)表示和ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的个数.
(Ⅰ)若集合A={2,4,8,16},则l(A)=
 

(Ⅱ)当n=108时,l(A)的最小值为
 

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