Question

1．对于任意x∈R，函数f（x）=x²-2x-|x-1-a|-|x-2|+4的值非负，则实数a的最小值为（　　）

• A． -$\frac{11}{8}$
• B． -5
• C． -3
• D． -2

Answer 1

分析 根据条件，问题可等价为：函数g（x）的图象在函数h（x）图象的上方，再结合两函数图象的位置关系，确定a的最小值．

解答 解：因为f（x）的值非负，所以f（x）≥0恒成立，
即，x²-2x+4≥|x-2|+|x-（a+1）|对任意实数x恒成立，
记g（x）=x²-2x+4，h（x）=|x-2|+|x-（a+1）|，
问题等价为：函数g（x）的图象在函数h（x）图象的上方，
其中，g（x）=（x-1）²+3，对称轴为x=1，最小值为3，
h（x）的图象的对称轴为x=$\frac{a+3}{2}$，
且函数的最小值为|（a+1）-2|=|a-1|，
由|a-1|≤3，解得a∈[-2，4]，
当a=-2时，h（x）=|x-2|+|x+1|，
函数的最小值恰为3，两图象相切，
如右图，红线为g（x）图象，紫线为h（x）图象，
若a＜-2，则h（x）_min＞3，不合题意，
因此，实数a的最小值为-2．
故选：D．

点评 本题主要考查了函数的图象和最值，涉及函数的最值，单调性和图象的对称性，属于中档题．