Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

已知在极坐标系中，点，，是线段的中点，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数）.

（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；

（2）设直线过点交曲线于两点，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,. （Ⅱ）12.

【解析】试题分析：（1）根据将极坐标化为直角坐标，利用三角函数平方关系消参数得普通方程，（2）先设直线参数方程，再代人圆方程，利用参数几何意义求的值.

试题解析：（（Ⅰ）将点，的极坐标化为直角坐标，得和.

所以点的直角坐标为.

将消去参数，得，即为曲线的普通方程.

（Ⅱ）解法一：直线的参数方程为 （为参数，为直线的倾斜角）

代入，整理得：.

设点、对应的参数值分别为、.则，

.

解法二：过点作圆：的切线，切点为，

连接，因为点由平面几何知识得：

，

所以 .