Question

（2013•连云港一模）若不等式|a-1|≥x+2y+2z对满足x²+y²+z²=1的一切实数x、y、z恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：不等式|a-1|≥x+2y+2z恒成立，只要|a-1|≥（x+2y+2z）_max，利用柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²求出x+2y+2z的最大值，再解关于a的绝对值不等式即可．

解答：解：由柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²
即x+2y+2z≤3，当且仅当 

x

1

=

y

2

=

z

2

且x²+y²+z²=1取等号，
即 x=

1

5

，y=

2

5

，z=

2

5

时，x+2y+2z取得最大值3．
∵不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x²+y²+z²=1的一切实数x，y，z恒成立，
只需|a-1|≥3，解得a-1≥3或a-1≤-3，
∴a≥4或a≤-2．
即实数的取值范围是（-∞，-2]∪[4，+∞）．

点评：本题考查柯西不等式的应用，考查运算能力和运用所学知识解决问题的能力．