Question

【题目】已知正项数列的前n项和为，对于任意正整数m、n及正常数q，当时，恒成立，若存在常数，使得为等差数列，则常数c的值为______

Answer 1

【答案】

【解析】

可令m＝n﹣1，结合数列的递推式和等比数列的通项公式和求和公式，讨论q是否为1，结合等差数列的通项公式和对数的运算性质，可得所求结论．

解：因为对任意正整数n，m，

当n＞m时，Sn﹣Sm＝qmSn﹣m总成立，

所以n≥2时，令m＝n﹣1，得到Sn﹣Sn﹣1＝qn﹣1S1，即an＝a1qn﹣1＝qn﹣1，

当n＝1时，也成立，

所以an＝qn﹣1，

当q＝1时，Sn＝n，q≠1时，Sn，

{lg（c﹣Sn）}为等差数列，可得q≠1，

lg（c）＝lgnlgq﹣lg（1﹣q）为等差数列，

即有c（0＜q＜1），

故答案为：c（0＜q＜1）．