Question

【题目】已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣4|+m
（1）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；
（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围

Answer 1

【答案】
（1）解：把函数f（x）=|x|代入g[f（x）]+2﹣m＞0并化简得||x|﹣4|＜2，

∴﹣2＜|x|﹣4＜2，

∴2＜|x|＜6，

故不等式的解集为（﹣6，﹣2）∪（2，6）；

（2）解：∵函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，

∴f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x﹣4|+|x|恒成立，

∵|x﹣4|+|x|≥|（x﹣4）﹣x|=4，

∴m的取值范围为m＜4

【解析】（1）把函数f（x）=|x|代入g[f（x）]+2﹣m＞0可得不等式||x|﹣4|＜2，解此不等式可得解集；（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，则f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x﹣4|+|x|恒成立，只要求|x﹣4|+|x|的最小值即可．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．