Question

某厂生产产品x件的总成本c（x）=1200+

2

75

x³（万元），已知产品单价P（万元）与产品件数x满足：p²=

k

x

，生产100件这样的产品单价为50万元．
（1）设产量为x件时，总利润为L（x）（万元），求L（x）的解析式；
（2）产量x定为多少件时总利润L（x）（万元）最大？并求最大值（精确到1万元）．

Answer 1

分析：（1）由题可知生产100件这样的产品单价为50万元，所以把x=100，P=50代入到p²=

k

x

中求出k的值确定出P的解析式，然后根据总利润=总销售额-总成本得出L（x）即可；
（2）令L′（x）=0求出x的值，此时总利润最大，最大利润为L（25）．

解答：解：（1）由题意有502=

k

100

，解得k=25×10⁴，∴P=

25×104 x

=

500

x

，
∴总利润L(x)=x•

500

x

-1200-

2x3

75

=-

2x3

75

+500

x

-1200(x＞0)；
（2）由（1）得L′(x)=-

2

25

x2+

250

x

，令L′(x)=0?

250

x

=

2

25

x2，
令t=

x

，得

250

t

=

2

25

t4?t5=125×25=55，∴t=5，于是x=t²=25，
则x=25，所以当产量定为25时，总利润最大．
这时L（25）≈-416.7+2500-1200≈883．
答：产量x定为25件时总利润L（x）最大，约为883万元．

点评：考查学生根据实际问题选择函数关系的能力，及利用导数求函数最值的方法的能力．