Question

若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{a_n}是公比为q的无穷等比数列，下列{a_n}的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第

 

组．（写出所有符合要求的组号）
①S₁与S₂；②a₂与S₃；③a₁与a_n；④q与a_n．（其中n为大于1的整数，S_n为{a_n}的前n项和．）

Answer 1

分析：由根据等差数列性质可知，利用S₁和S₂，可知a₁和a₂．由

a2

a1

可得公比q，故能确定数列是该数列的“基本量”；
由a₂与S₃，设其公比为q，首项为a₁，可得把a₁和S₃代入整理得a₂q²+（a₂-S₃q）+a₂=0
q不能确定，不一定是数列 的基本量；
由a₁与a_n，可得a_n=a₁q^n-1，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数列；
根据等比数列通项公式，数列{a_n} 能够确定，是数列{a_n} 的一个基本量．

解答：解：（1）由S₁和S₂，可知a₁和a₂．由

a2

a1

可得公比q，故能确定数列是该数列的“基本量”①对；
（2）由a₂与S₃，设其公比为q，首项为a₁，可得a₂=a₁q，a₁=

a2

q

，S₃=a₁+a₁q+a₁q²，
∴S₃=

a2

q

+a₂+a₂q，∴a₂q²+（a₂-S₃q）+a₂=0；
满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列 的基本量，②不对；
（3）由a₁与a_n，可得a_n=a₁q^n-1，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量．
（4）由q与a_n由a_n=a₁q^n-1，故数列{a_n} 能够确定，是数列{a_n} 的一个基本量；
故答案为①④

点评：本题主要考查等比数列的性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．