Question

【题目】已知向量 =（sin（π+ωx），2cosωx）， =（2 sin（ +ωx），cosωx），（ω＞0），函数f（x）= ，其图象上相邻的两个最低点之间的距离为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称中心；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanB= ，求f（A）的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意，向量 =（sin（π+ωx），2cosωx）， =（2 sin（ +ωx），cosωx），（ω＞0），

函数f（x）= =sin（π+ωx）（2 sin（ +ωx）+2cosωxcosωx=2cos2ωx﹣ sinωxcosωx

=1+cos2ωx﹣ sin2ωx=2cos（2ωx+ ）+1，

∵图象上相邻的两个最低点之间的距离为π．

∴周期T=π，即 ，

∴ω=1，

可得f（x）=2cos（2x+ ）+1，

令2x+ =k ，k∈Z，

得：x= ，

函数f（x）的对称中心为（ ，1），k∈Z；

（Ⅱ）∵tanB= ，

由余弦定理：cosB= 化简可得：tanB= ，

∴sinB= ，

∵△ABC是锐角三角形，

∴B= ．

∴ ，

那么：f（A）=2cos（2A+ ）+1，

则2A+ ∈（ ， ），

∴cos（2A+ ）∈[﹣1， ）．

故得f（A）的取值范围是[﹣1，2）

【解析】（Ⅰ）根据函数f（x）= ，利用向量的运算求出函数f（x）的关系式，图象上相邻的两个最低点之间的距离为π．可得周期T=π，求出ω，即可求函数f（x）的对称中心．（Ⅱ）根据tanB= 由余弦定理：cosB= 化简可得：tanB= ，求出B，利用三角函数的有界限求出f（A）的取值范围．